Question

如图所示，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面

如图所示，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S 1 、S 2 、S 3 、S 4 ，给出如下结论：①S 1 +S 2 =S 3 +S 4 ；②S 2 +S 4 =S 1 +S 3 ；③若S 3 =2S 1 ，则S 4 =2S 2 ；④若S 1 =S 2 ，则P点在矩形的对角线上。其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

②④

试题分析：根据三角形面积求法以及矩形性质得出S 1 +S 3 = 矩形ABCD面积，以及 ， ，即可得出P点一定在AC上． 过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E ∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S 1 +S 3 = 矩形ABCD面积； 同理可得出S 2 +S 4 = 矩形ABCD面积； ∴②S 2 +S 4 =S 1 +S 3 正确，则①S 1 +S 2 =S 3 +S 4 错误， ③若S 3 =2S 1 ，只能得出△APD与△PBC高度之比，S 4 不一定等于2S 2 ；故此选项错误； ④若S 1 =S 2 ， ×PF×AD= PE×AB， ∴△APD与△PBA高度之比为 ∴四边形AEPF是矩形， ∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似， ∴ ∴P点在矩形的对角线上． 故④选项正确， 故答案为：②和④． 点评：特殊四边形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，贯穿于整个初中数学的学习，与各个知识点联系极为容易，是中考的热点.