Question

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC． （1）求证： 平面E

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC． （1）求证： 平面EFGH；（2）求证：四边形EFGH是矩形．

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Answer 1

（1）要证明线面平行，则要根据题意，得到线线平行，即EH∥BD。 （2）证明一个四边形是矩形，首先确定是平行四边形，再证明一个角是直角来得到。

试题分析：证明：（1）∵E，H分别为AB， DA的中点． ∴EH∥BD，又 平面EFGH， 平面EFGH, 平面EFGH；……4分 (2)取BD中点O，连续OA，OC． ∵ AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD， 又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC． ∴BD⊥AC．                   ……7分 ∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点． ∴EH∥BD，且EH= BD；FG∥BD，且FG= BD，EF∥AC． ∴EH∥FG，且EH=FG． ∴四边形EFGH是平行四边形．……10分 由（2）可知AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD． ∴EF⊥EH． ∴四边形EFGH为矩形．   ……12分 点评：主要是考查了空间中线面平行的证明，以及关于平面四边形的形状的确定，属于基础题。