Question

如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，证明

如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，证明：（Ⅰ）∠BFM=∠PEF； （Ⅱ）PF 2 = PD·PC。

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接OE， ∵PE切⊙O于点E， ∴OE⊥PE， ∴∠PEF+∠FEO=90°， 又∴AB⊥CD， ∴∠B+∠BFM=90°， 又∴∠B=∠FEO， ∴∠BFM=∠PEF； （Ⅱ）∵∠PEF=∠BFM， ∴∠EFP=∠PEF， ∴PE=PF， 又∵PE 2 =PD·PC， ∴PF 2 =PD·PC。