Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA?kOB=-b2a2，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切，
∴b＝

|0?0+ 6 |

2

=

3

，
又a²=b²+c²，e＝

c

a

＝

1

2

，
解得a²=4，b²=3，
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y＝kx+m x2 4 + y2 3 ＝1

化为（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化为3+4k²-m²＞0．
∴x1+x2＝?

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