Question

（2010?江苏模拟）在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，

（2010?江苏模拟）在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（1）求四棱锥P-ABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；（3）求证CE∥平面PAB．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC＝

3

，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠ACD=60°，∴CD＝2

3

，AD＝4．
∴SABCD＝

1

2

AB?BC+

1

2

AC?CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

＝

5

2

3

．
则V＝

1

3

×

5

2

3

×2＝

5

3

3

．
（2）证明：∵PA=CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD，则EF⊥PC，∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．
（3）证明：延长DC，AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点．∵E为PD中点，∴EC∥PN．∵EC?平面PAB，PN?平面