Question

如图，菱形ABCD的对角线AC长8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，PM+PN的最小值

如图，菱形ABCD的对角线AC长8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，PM+PN的最小值是5，则菱形的边长等于______．

Answer 1

解：作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形AM′NB是平行四边形，
∴PN∥AB，
又N是BC边上的中点，
∴P是AC中点，
∴PM∥BN，PM=BN，
∴四边形PMBN是平行四边形，
∵BM=BN，
∴平行四边形PMBN是菱形．
∴MP+NP=BM+BN=BC=5．
故答案为5．