Question

如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，BC交△ABD的外接圆于点E，求证：AD=CE

如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，BC交△ABD的外接圆于点E，求证：AD=CE．

Answer 1

证明：连结DE；因为，ABED四点共圆，因BD是∠ABC的角平分线，所以∠ABD=∠DBE，且两个角都是圆周角；所以有；AD=DE（同圆内等圆周角所对的弦和弧相等）。又因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。在△CAB和△CED中。

∠CED=∠CAB（四点共圆的四边形外角等于其内对角），∠C=∠C；所以△CAB∽△CED。

△CED也是等腰三角形，CE=DE=AD。即：AD=CE。证毕。

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Answer 2

解答：证明：如图，连接DE．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
又∵点A、B、E、D共圆，
∴∠CDE=∠ABC，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE．
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
∴AD=ED，
∴AD=CE．