Question

在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．设∠

在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．设∠BAC=α，∠DCE=β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是______；证明你的结论；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是______，请说明理由；（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图（3）中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是______．

Answer 1

（1）α+β=180°．
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠CAE=∠BAD．
在△ABD和△ACE中

AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
即α+β=180°．                 
（2）α=β；                                               
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，即α=β．                                    
（3）α=β．
理由：如图3，∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，
∴∠BAC=∠DCE，
即α=β．