Question

设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值则cosθ=

(x)=√5*1/√5*sinx-2/√5*cosx=√5*sin(x-a) (cosa=1/√5, sina=-2/√5)
为什么cosa=1/√5, sina=-2/√5？？？

要详细过程

Answer 1

f(x)＝sinx-2cosx
＝√[1^2+(-2)^2]·{sinx·1/√[1^2+(-2)^2]-cosx·2/√[1^2+(-2)^2]}
＝√5·(sinx·1/√5-cosx·2/√5)
＝√5·(sinxcosφ-cosxsinφ)
(其中，cosφ＝1/√5,sinφ＝2/√5)
＝√5sin(x-φ).
∴f(θ)＝√5sin(θ-φ).
∴sin(θ-φ)＝1→θ-φ＝2kπ+π/2,
即θ＝2kπ+π/2+φ时，f(θ)|max＝√5.
此时，
cosθ＝cos(2kπ+π/2+φ)
＝-sinφ
＝-2/√5.
＝(-2√5)/5。

题目较乱，看不出x、θ、a三者有什么联系。

追问

怎么得出cosφ＝1/√5,sinφ＝2/√5？

追答

恒等变换啊！第二、第三行你没有看出来？

恒等变换啊！第二、第三行你没有看出来？

追问

真的看不懂唉 麻烦能写一下过程吗？

Answer 2

应该是cosa=1/√5,sina=2/√5这样f(x)=√5(sinxcosa-cosxsina)=√5sin(x-a)可以利用和角公式化简合并为正弦型函数

Answer 3

这个题看图像最好解答。把余弦图像画出来看看就知道了。
首先这个函数最大值一定是3,，即cosx=-1时。