Question

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为 3 5 的直线交

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为 3 5 的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．

Answer 1

设双曲线的方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1． 依题意知，点P，Q的坐标满足方程组 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 y= 3 5 (x-c)  (其中c= a 2 + b 2 ) 整理得（5b 2 -3a 2 ）x 2 +6a 2 cx-（3a 2 c 2 +5a 2 b 2 ）=0 ①． 若5b 2 -3a 2 =0，则 b a = 3 5 ，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b 2 -3a 2 ≠0． 设方程①的两个根为x 1 ，x 2 ，则有 x 1 + x 2 = 6 a 2 c 5 b 2 -3 a 2 ②， x 1 x 2 =- 3 a 2 c 2 +5 a 2 b 2 5 b 2 -3 a 2 ③， 由于P、Q在直线y= 3 5 （x-c）上，可记为 P（x 1 ， 3 5 （x 1 -c）），Q（x 2 ， 3 5 （x 2 -c））． 由OP⊥OQ得 3 5 ( x 1 -c) x 1 ? 3 5 ( x 2 -c) x 2 =-1， 整理得3c（x 1 +x 2 ）-8x 1 x 2 -3c 2 =0  ④． 将②，③式及c 2 =a 2 +b 2 代入④式，并整理得 3a 4 +8a 2 b 2 -3b 4 =0，即（a 2 +3b 2 ）（3a 2 -b 2 ）=0． 因为a 2 +3b 2 ≠0，解得b 2 =3a 2 ， 所以c= a 2 + b 2 =2a． 由|PQ|=4，得（x 2 -x 1 ） 2 +[ 3 5 （x 2 -c）- 3 5 （x 1 -c）] 2 =4 2 ． 整理得（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 -10=0  ⑤． 将②，③式及b 2 =3a 2 ，c=2a代入⑤式，解得a 2 =1． 将a 2 =1代入b 2 =3a 2 得b 2 =3． 故所求双曲线方程为x 2 - y 2 3 =1．