Question

已知数列{an}是以公比为q的等比数列，Sn（n∈N*）是其前n项和，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求证：a2，

已知数列{an}是以公比为q的等比数列，Sn（n∈N*）是其前n项和，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求证：a2，a8，a5也成等差数列；（2）判断以a2，a8，a5为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{an}中的项？若是，求出这一项；若不是，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：当q=1时，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁，而a₁≠0，
∴S₃，S₉，S₆不可能是等差数列，故q≠1．
当q≠1时，∵S₃，S₉，S₆成等差数列，
∴2S₉=S₃+S₆，又Sn＝

a1(1?qn)

1?q

，
∴2

a1(1?q9)

1?q

＝

a1(1?q3)

1?q

+

a1(1?q6)

1?q

，
化简得2q⁷=q+q⁴，所以2a1q7＝a1q+a1q4，
∴2a₈=a₂+a₅，故a₂、a₈、a₅成等差数列．
（Ⅱ）由2q⁶=1+q³得q³=1（舍）或q³=-

1

2

，
要使以a₂，a₈，a₅为前三项的等差数列的第四项是数列{a_n}中的项且为第k项，
则必有a_k-a₅=a₅-a₈，即2a₅=a₈+a_k，
两边同除以a₂，得2q³=q^k-2+q⁶，
将q³=-

1

2

代入，解得q^k-2=-

5

4

，
又∵（q³）^k-2=（-

1

2

）^k-2，即（q^k-2）³=（-

1

2

）^k-2，
∴(?

1

2

)k?2＝(?

5

4

)3，
由于k是正整数，所以(?

1

2

)k?2＝(?

5

4

)3不可能成立，
∴以a₂，a₈，a₅为前三项的等差数列的第四项不可能是数列{a_n}中的项．