Question

已知函数f（x）=（-x2-mx-m）e-x（m∈R）．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求f（x）的单调区间

已知函数f（x）=（-x2-mx-m）e-x（m∈R）．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=（-2x-m）e^-x+（-x²-mx-m）e^-x（-1）．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为R，
由e^-x＞0，得 f'（x）与x²+（m-2）x同号．令f'（x）=0，
得x²+（m-2）x=0，x₁=0，x₂=2-m．
（1）当m＜2时，

x	（-∞，0）	0	（0，2-m）	2-m	（2-m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

f（x）的增区间为（-∞，0）和（2-m，+∞）；f（x）的减区间为（0，2-m）．
（2）当m=2时，f'（x）≥0恒成立，f（x）的增区间为（-∞，+∞），无减区间．
（3）当m＞2时，

x	（-∞，2-m）	2-m	（2-m，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

f（x）的增区间为（-∞，2-m）和（0，+∞）；f（x）的减区间为（2-m，0）．
故f（x）的单调区间为：

m	f（x）的增区间	f（x）的减区间
m＜2	（-∞，0）和（2-m，+∞）	（0，2-m）
m=2	（-∞，+∞）	无
m＞2	（-∞，2-m）和（0，+∞）	（2-m，0）