Question

有一种螃蟹，从海上捕获后如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定量的蟹死去，假设放养期内蟹

有一种螃蟹，从海上捕获后如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按每千克20元收购了这种活螃蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活螃蟹的市场价可以每天上升2元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且每天还有5千克蟹死去，死蟹不能出售，同时螃蟹放养在塘内不超过20天。
（1）如果该经销商将这批螃蟹一次性出售后能获利29500元，那么应该放养多少天后在售出？
（2）该经销商将这批蟹放养多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少?

Answer 1

这是一个二次函数的极值问题

设：经销商将这批蟹放养x天（x≤20），获得利润为y元
则：y=（1000-5x）*（30+2x）-1000*20-400x
化简得：y=-10x^2+1450x+10000

（1）
当y=29500时
-10x^2+1450x+10000=29500
解得：x1=15，x2=130（与x≤20不符，舍弃）

如果该经销商将这批螃蟹一次性出售后能获利29500元，那么应该放养15天后再售出。

（2）
二次函数a＜0，因此函数有最大值
当x=-1450/【2x（-10）】=72.5天时，利润最大
但是x≤20，因为x在＜72.5时，y是随着x的增大而增大，所以x=20时，利润最大
y=-10*20^2+1450*20+10000=37000元

该经销商将这批蟹放养20天后一次性出售可获得最大利润，最大利润是37000元。