Question

计算二重积分∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dб,其中D是由y=-a+√

a²-x²) (a＞0)和直线y=-x围成的区域。
是用极坐标来做吗？我用了极坐标在第一次求定积分的时候就不会了。。。

Answer 1

解答：

在极坐标下

D={(r,θ)|0≤r≤-2asinθ，-π/4≤θ≤0}

解法一：

∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ

=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ)[r²/√(4a²-r²)]dr

=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ){[4a²-(4a²-r²)]/√(4a²-r²)}dr

=∫(-π/4,0)dθ{∫(0,-2asinθ)[4a²/√(4a²-r²)]dr-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr}.........①

记大括号中的值为I，则

I=∫(0,-2asinθ)[4a²/√(4a²-r²)]dr-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr

=4a²*arcsin(r/2a)|(0,-2asinθ)-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr

=-4a²θ-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr....................................................②

对于积分∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr的解法有两种：

方法一：套用不定积分公式∫√(a²-x²)dx=(a²/2)arcsin(x/a)+(1/2)x√(a²-x²)+C

（其证明过程有两种，一种是换元法，另一种是分部积分法，证明从略）

所以，

∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr

=[(4a²)/2]arcsin(r/2a)+(1/2)r√(4a²-r²)=-2a²θ-a²sin2θ

代入②，得

I=-4a²θ-[-2a²θ-a²sin2θ]=-2a²θ+a²sin2θ，代入①，得

∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ

=∫(-π/4,0)(-2a²θ+a²sin2θ)dθ

=(π²/16-1/2)a²

方法二：利用圆的几何性质，令s=√(4a²-r²)，则r²+s²=4a²，则该定积分可以看成是以(0,0)为圆心，以2a为半径的圆内r∈(0，2asin(-θ)的面积，如图阴影部分的面积即为所求。

该阴影部分可分为三角形和扇形，

S三角形=(1/2)*2asin(-θ)*2acosθ)=-a²sin2θ

S扇形=（1/2)*(2a)²*(π/2+θ)=πa²+2a²θ

所以，∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr=S阴影=S三角形+S扇形=πa²+2a²θ-a²sin2θ，代入①得

∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ

=∫(-π/4,0)(πa²+2a²θ-a²sin2θ)dθ

=(π²/16-1/2)a²

解法二：

∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ

=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ)[r²/√(4a²-r²)]dr

=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)[(4a²sin²u)/√(4a²cos²u)]*2acosudu（令r=2asinu）

=4a²∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)sin²udu

=4a²∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)[(1-cos2u)/2]du

=4a²∫(-π/4,0)[(-1/2)θ+(1/4)sin2θ)]dθ

=(π²/16-1/2)a²