Question

高数求解 请用拉格朗日乘数法

Answer 1

设三角形底边为2x，腰长为y，周长为8，则有 x+y=4 (1)
设底边上的高为h，则有h²=y²-x²
旋转体的体积为
V=2*1/3*πh²x
=2/3*πx(y²-x²) (2)
设L(x,y)=x+y-4=0
求体积V的最大值相当于
求V(x,y)在L(x,y)=0下的条件极值
设F(x,y)=V(x,y)+λL(x,y)
则F(x,y)与V(x,y)同时取得极值
分别取偏导数可得
∂F/∂x=2/3*π(y²-3x²)+λ=0
∂F/∂y=2/3*πx*2y+λ=0
∂F/∂λ=x+y-4=0
联立可解得
x=1, y=3
∴旋转体体积最大时
三角形的底为2x=2
腰为y=3
旋转体最大体积为
V=2/3*πx(y²-x²)
=2/3*π*1*(3²-1²)
=16π/3

追问

请问旋转体的体积为什么是两倍的啊

追答

因为在我的参数里，x只是底边的一半