Question

一元函数微分学和不定积分的问题，懂的 ，就帮我把吧！详细者加分，谢谢！

1.积分√xdlnx=积分（1/√x）dx?怎么得出来？过程
2.要造一个圆柱形油罐，体积为V,问底半径x和高h分别为多少时，才能使其表面积最小？
3.设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少，
才能是圆柱体的体积最大？
4.以直的河岸为一边用篱笆围出一长方形场地，现有48米长的篱笆，问如何选择长，宽？
才能使场地面积最大？

Answer 1

第一题：
因为微分dlnx＝（1/x）dx，
（这个式子可以理解为：lnx的导数，(dlnx)/(dx)＝1/x，两边同乘以dx。）
所以∫√xdlnx＝∫√x×（1/x）dx＝∫（1/√x）dx。

第二题：
油罐的底面半径是x，则底面积是πx²，所以体积V＝πx²h。
设表面积是S，因底面周长C＝2πx，可知侧面积为2πxh，于是S＝2πxh＋2πx²
考虑到h＝V/（πx²），代入则有：
S＝2πxV/（πx²）＋2πx²＝2V/x＋2πx²
求导：
S’＝4πx－2V/x²。
令导数S’＝0，得到x³＝V/（2π），于是x＝r，其中r＝三次根号下（V/（2π））
在0＜x＜r时，S’＜0；在x＞r时，S’＞0，从而x＝r是S的唯一极小值点。
因此所求的底面半径x＝r，
此时高h＝V/（πr²），具体是多少自己算一下吧。

第三题：
设矩形旋转轴的长为a，另一边的长为b，由题意可知2a＋2b＝120，单位cm就不写了。
这样a＝60－b。考虑到a＞0，b＞0，可求得0＜b＜60。
因为a为轴，那么这个圆柱体的高就是a，且底面半径是b，其体积为：
V＝πb²a＝πb²（60－b）＝60πb²－πb³。
求导，有：
V’＝120πb－3πb²＝3πb（40－b）。
令V’＝0，可得b＝0（不满足b＞0，舍去）以及b＝40。
在0＜b＜40时，V’＞0；在40＜b＜60时，V’＜0，从而在b＝40时V有唯一极大值。
此时a＝60－b＝20。
所以在矩形边长是20cm和40cm时圆柱体体积最大。

第四题：
设场地的长是p，宽q，由题意可知p＋2q＝48，同上题，单位m不写了。
于是p＝48－2q。根据p＞0及q＞0可得0＜q＜24。
场地面积为S＝pq＝（48－2q）q＝48q－2q²。
求导，得S’＝48－4q。
令S’＝0，可得q＝12。
在0＜q＜12时S’＞0；在12＜q＜24时S’＜0。从而当q＝12时S有唯一极大值。
此时p＝48－2q＝24。
所以应当选择的长为24m，宽为12m。

Answer 2

1.∫√xdlnx=∫√x*1/x*dx=∫(1/√x)dx=2√x+C
2.V=πx²h，h=V/(πx²)
假设油罐具有上下两个表面
S(x)=2πx²+2πxh=2πx²+2πx*V/(πx²)=2πx²+2V/x
S'(x)=4πx-2V/x²=0，x=∛(V/2π)，由实际问题知S(x)的最小值一定存在
因此当x=∛(V/2π)，h=∛(4V/π)时油罐的表面积最小
3.设作为轴的那条边的长度为y厘米，另一边长为x厘米
2(x+y)=120，x+y=60，y=60-x
V(x)=πx²y=πx²(60-x)=-πx³+60πx²
V'(x)=-3πx²+120πx=0，解得x=40（另一解舍去），y=60-40=20
因此矩形的边长分别为20厘米和40厘米，才能使圆柱体的体积最大
4.设长为x米，宽为y米
x+2y=48，y=(48-x)/2
S(x)=xy=x*(48-x)/2=-0.5x²+24x
S'(x)=-x+24=0，x=24，y=(48-24)/2=12
选择长24米、宽12米，才能使场地面积最大