Question

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)． (1)若函数f(x)在x＝1处有极值1

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处有极值10，求b的值；
(2)若对于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．

第一问没问题，第二问中的F(a)＝2xa＋3x2＋b是怎么来的，题目中从未出现，在答案里突然冒出来。





Answer 1

F(a)和f'(x)的式子是一样的，只是把它看作了关于a的函数

追问

为什么要看作关于a的函数

追答

一次函数，最值在端点，比较方便

追问

哪个一次函数

追答

F(a)相当于a看作变量，x看作常量

追问

答案中构造F（a)是用来算什么的

追答

它和fx是一样的，你仔细看

追问

我做的时候写的是f'(x)，不是答案中的F(a)，其他都差不多，我这样做对吗

f'(x)里是2ax，为什么F(a)里就写成2xa

追答

变量放后面。按f'x做不仅是二次函数，而且还要讨论x的范围，太过繁琐很容易错。换变量是高中数学必备技巧，一定要学。
PS：刚才手误是f'x不是fx

追问

本来x是变量x属于[0，2]？

给我讲讲怎么换变量吧

追答

是的，你要讨论对称轴，很麻烦

追问

为什么换变量之后不用讨论

追答

一次函数的端点就是最值，也要讨论，答案写了，不过很简单

追问

给我讲讲怎么换变量，换变量的过程

追答

这个……

原本x是变量，现在你把a当作变量，就要把括号中的x改成a（括号里的就是变量）。
f和F只是表示不同的对应关系，写成其他的也行
然后关于变量（即a）降次排列2xa是一次，后面整体是0次
变量选择的技巧，用原始的是最稳妥的，但如果太过繁琐（比如这题），就可以考虑换用另一个，如果a的次数少于x就可以（a是一次，x是二次）
高中数学多练多总结，以后做这种题就像条件反射一样
我真的解释不下去了……

追问

F(a)＝2xa＋3x2＋b，3x2不是二次吗，怎么是0次

追答

变量是a，相当于a^0

追问

3x²不是二次吗

变量a是一次吧？

追答

你把它写成这样(3x^2+b)a^0每一个多项式都要以变量为准，此时x是常数平方以后还是常数

追问

第二问中，从题目知a为变量，x为常量，构造关于变量函数，就不用讨论对称轴了？

追答

是的

Answer 2

y = f ( x ) = x3-ax2-bx＋a2
则f'(x)=3x²-2ax-b
因为在x = 1时，有极值10，
则f'(1)=3-2a-b=0
f(1)=1-a-b+a²=10
则2a+b=3
a²-a-b=9
则a²+a=12
则a²+a-12=0
则(a-3)(a+4)=0
则a=3或a=-4
a=3时，b=-3
a=-4时，b=11

追问

不用做第一问

Answer 3

原函数求导啊

Answer 4

那个是求导，没看见那个F右上角有一小撇么…

追答

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Answer 5

把导函数看作一个新的函数

Answer 6

那个不是第一问里求导的结果么……