Question

已知函数f(x)=x3-ax2+bx+3（a,b∈R）,若函数在区间[0,1]上单减，求a2+b2的最小值

Answer 1

f(x)=x³－ax²＋bx＋3，则：f'(x)=3x²－2ax＋b
因函数f(x)在[0，1]上递减，则：
①f'(0)=b≤0；
②f'(1)=3－2a＋b≤0，即：2a－b≥3
由①、②组成一个平面区域【可行域】，而d²=a²＋b²就是这个区域内的点到原点的距离的平方，得：d的最小值是：d=|3|/√5=(3/5)√5，则：d²=a²＋b²的最小值是9/5，则：
a²＋b²∈[9/5，＋∞)

Answer 2

：（1）依题意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在[-1，0]上恒成立．
只需要 f′(0)≤0
f′(1)≤0即可，也即 b≤0
（3+2a+b）≤0，
而a2+b2可视为平面区域 b≤0
（3+2a+b）≤0内的点到原点的距离的平方，
由点到直线的距离公式得d²=（3/5）²=9/5，
∴a²+b²的最小值为 9/5．
故答案为：9/5．

Answer 3

已知函数f(x)=x3-ax2+bx+3（a,b∈R）,若函数在区间[0,1]上单减，求a2+b2的最小值
解析：∵函数f(x)=x3-ax2+bx+3（a,b∈R）, 在区间[0,1]上单减
令f’(x)=3x^2-2ax+b=0
∴当b=0,a=0，F’(x)=3x^2=0只有一个根, 不合题意
当b=0,a<0，F’(x)=3x^2-2ax=0有二个根,x1=0,x2<0，不合题意
当b=0,a>0，F’(x)=3x^2-2ax=0有二个根,x1=0,x2>0，
X2=2a/3
令2a/3>=1==>a>=3/2
∴a^2+b^2>=9/4
∴a2+b2的最小值为9/4
此时，f’(x)=3x^2-3x=0==>x1=0,x2=1
F”(x)=6x-3==> F”(0)=-3<0，f(x)在x=0处取极大值；F”(1)=3>0，f(x)在x=1处取极小值；函数在区间[0,1]上单减。
当b>0时，f’(x)图像上移，函数单减区间将缩小，不合题意；
当b<0时，f’(x)图像下移，函数单减区间将扩大，但仍能保证函数在区间[0,1]上单减；
即a>=3/2,b<0==> a^2+b^2>=9/4
综上，a2+b2的最小值为9/4

Answer 4

5/√3