Question

求幂级数的和函数

Answer 1

令f(x)=∑x^(2n)/n
则有f'(x)=2∑x^(2n-1)=2/x∑(x²)^n=2/x*x²/(1-x²)=2x/(1-x²), 收敛域为|x|<1
积分f(x)=∫2xdx/(1-x²)=∫d(x²)/(1-x²)=-ln(1-x²)+C
因有为f(0)=0, 故C=0
即f(x)=-ln(1-x²)
所以有原式=xf(x)=-xln(1-x²)

Answer 2

1、求出幂级数的收敛半径，收敛区间 ；
2、如果幂级数有n、(n+1)等系数时，需要先将级数逐项积分，约掉这些系数，就可能化为几何级数了，然后求其和。
3、与积分对应的，一定记得将来对这个级数的和再求导数。
同理，如果幂级数有 1/n、1/(n+1)等系数时，需要先将级数逐项求导，也是为了约掉这些系数，化为几何级数，然后求其和。只是将来对这个级数的和再求积分。
4、总之，有一次求导，将来就要对应一次积分，反之也一样。因为我们可以把求导和积分看成逆运算，这样做的目的是要将级数还原。

Answer 3