Question

已知函数f(x)=ax4+bx2+c的图像经过点(0,1) 且在x=1处的切线方程是y=x-2

此题出自哪套题？

Answer 1

由f(0)=1=c, 得：c=1
f'(x)=4ax³+2bx,
f'(1)=4a+2b
f(1)=a+b+1
故在x=1处的切线为y=(4a+2b)(x-1)+a+b+1=(4a+2b)x-3a-b+1
对比切线y=x-2, 得：
4a+2b=1, -3a-b+1=-2
解得：a=5/2, b=-9/2
故f(x)=2.5x ⁴-4.5x²+1

Answer 2

解：
x=0，f(x)=1代入函数方程，得c=1
x=1代入函数方程，得f(x)=a·1⁴+b·1²+c=a+b+c
f'(x)=4ax³+2bx
f'(1)=4a·1+2b·1=4a+2b
函数在x=1处的切线方程：y-(a+b+c)=(4a+2b)(x-1)
整理，得y=(4a+2b)x-3a-b+c
又已知切线方程y=x-2，因此
4a+2b=1，-3a-b+c=-2
c=1代入整理，得
4a+2b=1 (1)
3a+b=3 (2)
(2)×2-(1)
2a=5
a=5/2，代入(2)
b=3-3a=3-3·(5/2)=-9/2
函数解析式为f(x)=5x⁴/2 -9x²/2 +1