Question

设A为n阶可逆矩阵,证明（A*）^（-1）=[A^（-1）]* 设A为n阶可逆矩阵，证明（A*)*

设A为n阶可逆矩阵,证明（A*）^（-1）=[A^（-1）]*
设A为n阶可逆矩阵，证明（A*)*=|A|^（n-2）A

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Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

（1）证明：若 A 可逆，根据“A的逆矩阵”与“A的伴随矩阵”关系式A^-1＝A*/│A│，
得伴随矩阵为 A* ＝│A│A^-1-------------------(a)
于是 （A*）^-1 ＝(│A│A^-1)^-1＝A/│A│---------------------(b)
类似的，套用伴随矩阵的公式(a)，可得A^-1 的伴随矩阵是
(A^-1)* ＝│A^-1│(A^-1)^-1＝(1/│A│)·A＝A/│A│-----------(c)
由(b)(c)两式可知 （A*）^-1＝(A^-1)*

（2）证明：因为AA*=|A|E，两边取行列式得|A||A*|=||A|E|，而||A|E|=|A|^n，所以|A*|=|A|^(n-1)-----------------------(d)
A可逆，则由(a)得，(A*)*=|A*|(A*)^-1，由(b)(d)得，(A*)*=|A|^(n-1)·(A/|A|)=|A|^(n-2)·A