Question

设A为N阶可逆矩阵，则|A*|=?

Answer 1

（1）证明：若
a
可逆，根据“a的逆矩阵”与“a的伴随矩阵”关系式a^-1＝a*/│a│，
得伴随矩阵为
a*
＝│a│a^-1-------------------(a)
于是
（a*）^-1
＝(│a│a^-1)^-1＝a/│a│---------------------(b)
类似的，套用伴随矩阵的公式(a)，可得a^-1
的伴随矩阵是
(a^-1)*
＝│a^-1│(a^-1)^-1＝(1/│a│)·a＝a/│a│-----------(c)
由(b)(c)两式可知
（a*）^-1＝(a^-1)*
（2）证明：因为aa*=|a|e，两边取行列式得|a||a*|=||a|e|，而||a|e|=|a|^n，所以|a*|=|a|^(n-1)-----------------------(d)
a可逆，则由(a)得，(a*)*=|a*|(a*)^-1，由(b)(d)得，(a*)*=|a|^(n-1)·(a/|a|)=|a|^(n-2)·a

Answer 2

设a是A的属于特征值λ的特征向量
则
Aa=λa
两边左乘A*得
A*Aa
=
λA*a
所以
|A|a
=
λA*a.
因为
A
可逆,
所以
λ
不等于0
所以
A*a
=
|A|/λ