Question

如图所示，一个正比例函数图象与一个一次函数图象交于点A（3，4）

且一次函数的图像与y轴的交点为B（0.-5）
直线AB与x轴相交于点C，在正比例图像上是否存在点D，使△OCD的面积为三分之二十五？若存在，请求出点D的坐标。
在坐标轴上是否存在点M，使△OAM是以OA为腰长的等腰三角形？若存在，请写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：
设正比例函数解析式y=mx
x=3，y=4代入，得4=3m
m=4/3
正比例函数解析式为y=(4/3)x
设一次函数解析式y=kx+b
x=3，y=4；x=0，y=-5代入，得
3k+b=4
b=-5
解得k=3，b=-5
一次函数解析式为y=3x-5
直线AB方程：
y-4=[(-5-4)/(0-3)](x-3)
整理，得y=3x-5
令y=0，得x=5/3
点C坐标(5/3，0)
设点D坐标(xd，(4/3)xd)
S△OCD=(1/2)·|(4/3)xd|·(5/3)
令(1/2)·|(4/3)xd|·(5/3)=25/3
整理，得|xd|=15/2
xd=15/2或xd=-15/2
xd=15/2，(4/3)xd=(4/3)(15/2)=10
xd=-15/2 (4/3)xd=(4/3)(-15/2)=-10
点D坐标(15/2，10)或(-15/2，-10)
即正比例函数图像上存在两点(15/2，10)、(-15/2，-10)满足题意。
点A坐标(3，4)，过A作AD⊥x轴，交x轴于D，过A作AE⊥y轴，交y轴于D
O关于AD、O关于AE的对称点即满足题意。
M在x轴上时，3+3=6，点M坐标(6，0)
M在y轴上时，4+4=8，点M坐标(0，8)
即坐标轴上存在两点(6，0)、(0，8)满足题意。