高中数学。。 已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上
高中数学。。已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(2)当a=1且k∈z时,不等式k(x-1)<f(...
高中数学。。
已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)
(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(2)当a=1且k∈z时,不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
求解第(2)题。。 展开
已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)
(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(2)当a=1且k∈z时,不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
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解:(1)∵f(x)=ax+xlnx,
∴f′(x)=a+1+lnx,又函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,
∴当x≥e时,a+1+lnx≥0恒成立,
∴a≥(-1-lnx)max=-1-lne=-2,即a的取值范围为[-2,+∞);(2)当x>1时,x-1>0,故不等式k(x-1)<f(x)⇔k<f(x) /x-,
即k<x+xlnx/ x−1,对任意x>1恒成立.
令g(x)=x+xlnx/x−1, 则g′(x)=x−lnx−2/(x−1)^2 ,
令h(x)=x-lnx-2(x>1),
则h′(x)=1−1/x=x−1/x>0⇒h(x)在(1,+∞)上单增.∵h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0,
∴存在x0∈(3,4)使h(x0)=0,
即当1<x<x0时,h(x)<0,即g′(x)<0,
当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0,∴g(x)在(1,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增.令h(x0)=x0-lnx0-2=0,即lnx0=x0-2,g(x)min=g(x0)=x0(1+lnx0)/x0−1=x0(1+x0−2)/x0−1=x0∈(3,4),
∴k<g(x)min=x0且k∈Z,
即kmax=3.
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