Question

高中数学。。 已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R） （1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上

高中数学。。
已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

求解第(2)题。。

Answer 1

• 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，
  ∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，
  ∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，
  ∴a≥（-1-lnx）max=-1-lne=-2，即a的取值范围为[-2，+∞）；

  （2）当x＞1时，x-1＞0，故不等式k（x-1）＜f（x）⇔k＜f(x) /x-，

  即k＜x+xlnx/ x−1，对任意x＞1恒成立．

  令g(x)＝x+xlnx/x−1， 则g′(x)＝x−lnx−2/(x−1)^2 ，

  令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
  则h′(x)＝1−1/x＝x−1/x＞0⇒h(x)在（1，+∞）上单增．

  ∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
  ∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，
  即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，
  当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．

  令h（x0）=x0-lnx0-2=0，即lnx0=x0-2，g(x)min＝g(x0)＝x0(1+lnx0)/x0−1＝x0(1+x0−2)/x0−1=x0∈（3，4），

  ∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，
  即kmax=3．

Answer 2

追问

答案是3

Answer 3

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答案是3