Question

微分方程，图中划线部分是什么意思啊？

Answer 1

∵方程y''+ay'+by=ce^x有一个特解：y=e^(2x)+(1+x)e^x;
将这特解对x取二次导数，得：
y'=2e^(2x)+e^x+(1+x)e^x=2e^(2x)+2e^x+xe^x;
y''=4e^(2x)+2e^x+e^x+xe^x=4e^(2x)+3e^x+xe^x
将y，y'和y''代入原方程得：
4e^(2x)+3e^x+xe^x+a[2e^(2x)+2e^x+xe^x]+b[e^(2x)+(1+x)e^x]
=(4+2a+b)e^(2x)+(3+2a+b)e^x+(1+a+b)xe^x=ce^x
两边对应项系数相等，故得：
4+2a+b=0.........(1)
3+2a+b=c.........(2)
1+a+b=0...........(3)
(2)-(1)得c=-1；由(3)得b=-a-1，代入(1)式得a+3=0，故a=-3；于是b=2.
故原方程为y''-3y'+2y=-e^x..........(A);
其齐次方程y''-3y'+2y=0的特征方程r²-3r+2=(r-1)(r-2)=0的根为r₁=2，r₂=1；
于是齐次方程的通解为y=C₁e^(2x)+C₂e^x；
y=xe^x也是原方程的一个特解：这只要将y=xe^x及其y'、y''代入(A）看能否满足
方程(A)就可以了。
y'=xe^x+e^x；y''=xe^x+e^x+e^x=xe^x+2e^x;代入(A)式得：(xe^x+2e^x)-3(xe^x+e^x)+2xe^x=-e^x.
∴A是确是原方程的另一特解。
于是原方程的通解为:y=C₁e^(2x)+C₂e^x+xe^x.

Answer 2

asfa fa fafwa