Question

讨论函数f（x）=丨sinx+cosx丨+丨sinx-cosx丨的性质

Answer 1

解：利用零点分区去绝对值
①由sinx-cosx＞0得
　　√2sin(x-π/4)＞0
解得
　　2kπ<x-π/4<2kπ+π(k∈Z)
即
　　2kπ+π/4<x<2kπ+5π/4
②由sinx+cosx＞0得

　　√2sin(x+π/4)＞0
解得

　　2kπ<x+π/4<2kπ+π(k∈Z)
即
　　2kπ-π/4<x<2kπ+3π/4
由①②知
当2kπ+π/4<x<2kπ+3π/4时
　　f(x)=|sinx+cosx|-|sinx-cosx|
　　=(sinx+cosx)-(sinx-cosx)
　　=2cosx 递减
　　-1≤f(x)≤1

当2kπ+3π/4<x<2kπ+5π/4时
　　f(x)=|sinx+cosx|-|sinx-cosx|
　　=-(sinx+cosx)-(sinx-cosx)
　　=-2sinx 递增
　　-1≤f(x)≤1
当2kπ+5π/4<x<2kπ+7π/4时
　　f(x)=|sinx+cosx|-|sinx-cosx|
　　=-(sinx+cosx)+(sinx-cosx)
　　=-2cosx 递减
　　-1≤f(x)≤1

当2kπ+7π/4<x<2kπ+9π/4时
　　f(x)=|sinx+cosx|-|sinx-cosx|
　　=(sinx+cosx)+(sinx-cosx)
　　=2sinx 递增
　　-1≤f(x)≤1
综合以上，f(x)的定义域为R，值域为[-1，1]，最小正周期是T=2π，单调递增区间[2kπ+3π/4，2kπ+5π/4]、[2kπ+7π/4，2kπ+9π/4]，单调递减区间[2kπ+π/4，2kπ+3π/4]、[2kπ+5π/4，2kπ+7/2]；
　　　f(-x)=|sin(-x)+cos(-x)|-|sin(-x)-cos(-x)|
=|-sinx+cosx|-|-sinx-cosx|
=-(|sinx+cosx|-|sinx-cosx|)
=-f(x)
f(x)为奇函数。