Question

怎么证明圆弧相等所对的圆周角相等

Answer 1

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半

 已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

图1

∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D

图2

∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：

图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
利用这个定理，把把相等的圆弧对的圆周角，转化为圆心角，利用三角形全等就可以证明。

Answer 2

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。

证明过程如下：

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时，如图1

∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D，如图2

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）。

扩展资料：

公式

关于圆弧的计算公式如下 ：

（1）圆弧的弧长：

 

(R=半径，n=圆弧的角度的绝对值）

（2）扇形的面积：

 

(L=圆弧的弧长，R=半径)

构造圆弧

圆在几何图形中可以说是一种非常常用的图形，通过圆能够衍生出很多曲线问题，圆弧就是最简单的一种，我们用几何画板圆工具可以很轻易地作出圆，也可以利用几何画板构造圆上的弧，即构造圆弧。

参考资料来源：百度百科--圆弧

参考资料来源：百度百科--圆周角定理

Answer 3

连接弧的起点A和圆心O

连接弧的终点B和圆心O

不论C在何处,连接CO

AO=BO=CO

角ACO=CAO 角BCO=CBO

角AOB=2(ACO+BCO)=2ACB

不论C位于何处,圆周角ACB=AOB/2

所以同一弧对的圆周角相等

扩展资料:

1.圆心角定理：

在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等．

2.圆周角定理：

①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半

②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半

③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等

④半圆（或直径）所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径

⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.

Answer 4

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
图1

∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2

∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
利用这个定理，把把相等的圆弧对的圆周角，转化为圆心角，利用三角形全等就可以证明。

Answer 5

将圆心角一条半径延长成直径，连接圆周上点与另一条半径圆周上点，很容易证明得到的圆周角等于圆心角的一半，再根据同弧所对的圆周角相等来证明就可以了