如图左边那个式子是怎么来的？
2个回答
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S^2在均值μ已知的情况下是自由度为n，把方差标准化后显然nS^2/σ^2相当于每个数都按照(X-μ)/σ的步骤标准化，然后相加乘上n抵消均值系数，即为正态分布N(0,1)后的平方和，即标准自由度为n的卡方分布。(考虑实际计算公式的差异的话，这里说的S其实应该用Sn)
但未知的情况下需要牺牲掉一个的自由度来确定均值，即自由度为n-1，此时(n-1)S^2/σ^2才满足要求。
可以用两个的样本举个例子。
X1，X2为同一正态分布中取出的样本，均值方差未知。
那么
S=[X1-(X1+X2)/2]^2+[X2-(X1+X2)/2]^2
=1/2*(X1-X2)^2
由于X1，X2~N(μ,σ)，则X1-X2~N(μ,√2·σ)
很显然此时(2-1)S/σ^2就是一个标准正态分布，即自由度为1的卡方分布。
但未知的情况下需要牺牲掉一个的自由度来确定均值，即自由度为n-1，此时(n-1)S^2/σ^2才满足要求。
可以用两个的样本举个例子。
X1，X2为同一正态分布中取出的样本，均值方差未知。
那么
S=[X1-(X1+X2)/2]^2+[X2-(X1+X2)/2]^2
=1/2*(X1-X2)^2
由于X1，X2~N(μ,σ)，则X1-X2~N(μ,√2·σ)
很显然此时(2-1)S/σ^2就是一个标准正态分布，即自由度为1的卡方分布。
更多追问追答
追问
还想问一下为什么在未知情况下要牺牲一个自由度这里不太懂
追答
这个自由度是用来获取均值的，相当于把一个数提出来用来抵消其他样本里含有的均值项，你看下例子里，如果我们已知道均值是定值0的话，就可以直接写成
S=X1^2+X2^2
这样比较一下不知道均值的式子就可以看出来，X2没有牺牲掉用于扣除X1里面的均值项，此时自由度就是2。
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