Question

已知f(x)=xlnx-1/2ax^2+a （1）当a=1时,判断函数f(x)的单调性 （2）若函数F（x）

已知f(x)=xlnx-1/2ax^2+a
（1）当a=1时,判断函数f(x)的单调性
（2）若函数F（x）=f（x）-x有两个不同的极值点x1.x2 求实数a的取值范围
求证：f（x2）＞√2

Answer 1

（1）f(x)=xlnx-1/2x^2+1 定义域x>0
f'(x)=lnx-x+1
f''(x)=1/x-1
f''(x)=0 x=1
f'''(x)=-1/x²<0
∴f'(1)是f'(x)的极大值=0
∴f'(x)≤0 f(x)为单调减函数
（2）F(x)=xlnx-½ax^2+a-x
F'(x)=ln(x)-ax 有两个不同的极值点x₁.x₂
即ln(x)-ax=0 有两个不同的实数解
令g(x)=ln(x)-ax x>0
g'(x)=1/x-a 当a≤0时，g'(x)>0 g(x)单调递增，g(x)只有一个零点
∴a>0
驻点：x=1/a
g''(x)=-1/x²<0
g(1/a)为极大值=-lna-1
当极大值-lna-1>0时 g(x)有二个零点
∴a的取值范围a∈(0,1/e)

Answer 2

（1）f(x)=xlnx-1/2x^2+1
定义域x>0
f'(x)=lnx-x+1
f''(x)=1/x-1
f''(x)=0
x=1
f'''(x)=-1/x²<0
∴f'(1)是f'(x)的极大值=0
∴f'(x)≤0
f(x)为单调减函数
（2）F(x)=xlnx-½ax^2+a-x
F'(x)=ln(x)-ax
有两个不同的极值点x₁.x₂
即ln(x)-ax=0
有两个不同的实数解
令g(x)=ln(x)-ax
x>0
g'(x)=1/x-a
当a≤0时，g'(x)>0
g(x)单调递增，g(x)只有一个零点
∴a>0
驻点：x=1/a
g''(x)=-1/x²<0
g(1/a)为极大值=-lna-1
当极大值-lna-1>0时
g(x)有二个零点
∴a的取值范围a∈(0,1/e)