分解因式中的分组分解法.详解!

请多给一些例题... 请多给一些例题 展开
370116
高赞答主

2007-03-14 · 你的赞同是对我最大的认可哦
知道顶级答主
回答量:9.6万
采纳率:76%
帮助的人:6.3亿
展开全部
分组分解法:把各项适当分组,先使分解因式能分组进行,再使分解因式在各组之间进行.
分组时要用到添括号:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.
当多项式的项数较多时,可将多项式进行合理分组,达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法,且分组方法也不一定唯一。

例1分解因式:x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=(x15+m12)+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6++1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)

例2分解因式:x4+5x3+15x-9

解析可根据系数特征进行分组

解原式=(x4-9)+5x3+15x

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)

=(x2+3)(x2+5x-3)

附:仅供参考

第4课 因式分解
〖知识点〗
因式分解定义,提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步骤。
〖大纲要求〗
理解因式分解的概念,掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法,掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法,能把简单多项式分解因式。
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力,在中考试题中,因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多,也有选择题和解答题。
因式分解知识点
多项式的因式分解,就是把一个多项式化为几个整式的积.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.分解因式的常用方法有:
(1)提公因式法
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式.
(2)运用公式法,即用
写出结果.
(3)十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab=q,a+b=p的a,b,如有,则 对于一般的二次三项式 寻找满足
a1a2=a,c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1,a2,c1,c2,如有,则
(4)分组分解法:把各项适当分组,先使分解因式能分组进行,再使分解因式在各组之间进行.
分组时要用到添括号:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.
(5)求根公式法:如果 有两个根X1,X2,那么

考查题型:
1.下列因式分解中,正确的是( )���������
(A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2
(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)
(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2.下列各等式(1) a2- b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2
(3 ) 1 x2 –y2 -1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 -2-( x -1x )2
从左到是因式分解的个数为( )
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个
3.若x2+mx+25 是一个完全平方式,则m的值是( )
(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
4.若x2+mx+n能分解成( x+2 ) (x – 5),则m= ,n= ;
5.若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解,则m= ;
6.若x2+kx-6有一个因式是(x-2),则k的值是 ;
7.把下列因式因式分解:
(1)a3-a2-2a (2)4m2-9n2-4m+1

(3)3a2+bc-3ac-ab (4)9-x2+2xy-y2

8.在实数范围内因式分解:
(1)2x2-3x-1 (2)-2x2+5xy+2y2

考点训练:
1. 分解下列因式:
(1).10a(x-y)2-5b(y-x) (2).an+1-4an+4an-1

(3).x3(2x-y)-2x+y (4).x(6x-1)-1

(5).2ax-10ay+5by+6x (6).1-a2-ab-14 b2

*(7).a4+4 (8).(x2+x)(x2+x-3)+2

(9).x5y-9xy5 (10).-4x2+3xy+2y2

(11).4a-a5 (12).2x2-4x+1

(13).4y2+4y-5 (14)3X2-7X+2

解题指导:
1.下列运算:(1) (a-3)2=a2-6a+9 (2) x-4=(x +2)( x -2)
(3) ax2+a2xy+a=a(x2+ax) (4) 116 x2-14 x+14 =x2-4x+4=(x-2)2其中是因式分解,且运算正确的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.不论a为何值,代数式-a2+4a-5值( )
(A)大于或等于0 (B)0 (C)大于0 (D)小于0
3.若x2+2(m-3)x+16 是一个完全平方式,则m的值是( )
(A)-5 (B)7 (C)-1 (D)7或-1
4.(x2+y2)(x2-1+y2)-12=0,则x2+y2的值是 ;
5.分解下列因式:
(1).8xy(x-y)-2(y-x)3 *(2).x6-y6

(3).x3+2xy-x-xy2 *(4).(x+y)(x+y-1)-12

(5).4ab-(1-a2)(1-b2) (6).-3m2-2m+4

*4。已知a+b=1,求a3+3ab+b3的值

5.a、b、c为⊿ABC三边,利用因式分解说明b2-a2+2ac-c2的符号

6.0<a≤5,a为整数,若2x2+3x+a能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a

独立训练:
1.多项式x2-y2, x2-2xy+y2, x3-y3的公因式是 。
2.填上适当的数或式,使左边可分解为右边的结果:
(1)9x2-( )2=(3x+ )( -15 y), (2).5x2+6xy-8y2=(x )( -4y).
3.矩形的面积为6x2+13x+5 (x>0),其中一边长为2x+1,则另为 。
4.把a2-a-6分解因式,正确的是( )
(A)a(a-1)-6 (B)(a-2)(a+3) (C)(a+2)(a-3) (D)(a-1)(a+6)
5.多项式a2+4ab+2b2,a2-4ab+16b2,a2+a+14 ,9a2-12ab+4b2中,能用完全平方公式分解因式的有( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
6.设(x+y)(x+2+y)-15=0,则x+y的值是( )
(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5
7.关于的二次三项式x2-4x+c能分解成两个整系数的一次的积式,那么c可取下面四个值中的( )
(A) -8 (B) -7 (C) -6 (D) -5
8.若x2-mx+n=(x-4)(x+3) 则m,n的值为( )
(A) m=-1, n=-12 (B)m=-1,n=12 (C) m=1,n=-12 (D) m=1,n=12.
9.代数式y2+my+254 是一个完全平方式,则m的值是 。
10.已知2x2-3xy+y2=0(x,y均不为零),则 xy + yx 的值为 。
11.分解因式:
(1).x2(y-z)+81(z-y) (2).9m2-6m+2n-n2

*(3).ab(c2+d2)+cd(a2+b2) (4).a4-3a2-4

*(5).x4+4y4 *(6).a2+2ab+b2-2a-2b+1

12.实数范围内因式分解
(1)x2-2x-4 (2)4x2+8x-1 (3)2x2+4xy+y2

初二数学因式分解测试题
刘锦珍
一、 选择题:
1. 多项式15x3y4m2-35x4y2m2+20x3ym的各项公因式是( )
A 5x3y B 5x3ym C 5x3m D5x3m2y
2. 下列从左到右的变形中是因式分解的是( )
A (a+b)2=a2+2ab+b2 B x2-4x+5=(x-2x)2+1
C x2-5x-6=(x+6)(x-1) D x2-10x+25=(x-5)2
3. 若多项式x2+kxy+9y2是一个完全平方式,则k的值为( )
A 6 B 3 C -6 D -6或6
4. 把多项式a2+a-b2-b用分组分解法分解因式不同的分组方法有( )
A 1种 B 2种 C 3种 D 4种
5. 多项式a2+b2, x2-y2, -x2-y2, -a2+b2中,能分解因式的有( )
A 4个 B 3个 C 2个 D 1个
6. 如果多项式x2-mx-15能分解因式,则m的值为( )
A 2或-2 B 14或-14 C 2或-14 D ±2或±14
7. 下列各多项式中不含有因式 (x-1) 的是( )
A x3-x2-x+1 B x2+y-xy-x C x2-2x-y2+1 D (x2+3x)2-(2x+2)2
8. 若 则x为( )
A 1 B -1 C D -2
9. 若多项式4ab-4a2-b2-m有一个因式为(1-2a+b)则m的值为( )
A 0 B 1 C -1 D 4
10. 如果 (a2+b2-3) (a2+b2) -10 = 0那么a2+b2的值为( )
A -2 B 5 C 2 D -2或5
二、分解下列各式:
1、- m2 – n2 + 2mn + 1 2、(a + b)3d – 4(a + b)2cd+4(a + b)c2d

3. (x + a)2 – (x – a)2 4.

5. –x5y – xy +2x3y 6. x6 – x4 – x2 + 1

7. (x +3) (x +2) +x2 – 9 8. (x –y)3 +9(x – y) –6(x – y)2

9. (a2 + b2 –1 )2 – 4a2b2 10. (ax + by)2 + (bx – ay)2

三、 简便方法计算:
1. 2.

四、 化简求值:
1. 2ax2 – 8axy + 8ay2 – 2a 2. 已知:a2 – b2 – 5=0 c2 – d2 – 2 =0
其中x –2 y =1 a=3 求:(ac + bd)2 – (ad + bc)2的值

五、 观察下列分解因式的过程: 分解因式的方法,叫做 配方法。
x2 + 2ax – 3a2 请你用配方法分解因式:
=x2+2ax+a2 – a2 – 3a2 (先加上a2,再减去a2) m2 – 4mn +3n2
=(x+a)2 – 4a2 (运用完全平方公式)
=(x+a+2a) (x+a – 2a) (运用平方差公式)
=(x+3a) (x – a)
像上面这样通过加减项配出完全平方式把二次三项式
http://www.shitibaodian.com/chu/UploadFiles_8875/200607/20060727002.doc
http://www.kaoshi.ws/html/2005/0311/132010.html
2. 填空
(1)(2m+n)(2m-n)=4m2-n2此运算属于 。
(2)x2-2x+1=(x-1)2此运算属于 。
(3)配完全平方式 49x2+y2+ =( -y)2
自主学习:
1. 993-99能被100整除吗?你是怎样想的?与同伴交流。
小时是这样做的?
993-99
=99×992-99×1
=99(992-1)
=99×9800
=98×99×100
所以,993-99能被100整除。
(1) 小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的?
(2) 993-99还能被哪些正整数整除。
答案:(1)小明将993-99通过分解因数的方法,说明993-99是100的倍数,故993-99能被100整除。
(2)还能被98,99,49,11等正整数整除。
2. 计算下列各式:
(1)(m+4)(m-4)= ;
(2)(y-3)2= ;
(3)3x(x-1)= ;
(4)m(a+b+c)= .
根据上面的算式填空:
(1)3x2-3x=( )( )
(2)m2-16=( )( )
(3)ma+mb+mc=( )( )
(4)y2-6y+9=( )( )
请问,通过以上两组练习的演练,你认为这两组练习之间有什么关系?
答案:第一组:
(1)m2-16;(2)y2-6y+9;(3)3x2-3x;(4)ma+mb+mc;
第二组:
(1)3x(x-1);(2)(m+4)(m-4);(3)m(a+b+c);(4)(y-3)2。
第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果,第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式,它们这间恰好是一个互逆的关系。
3. 下列各式中由等号的左边到右边的变形,是因式分解的是( )
A.(x+3)(x-3)=x2-9 B.x2+x-5=(x-2)(x+3)+1
C.a2b+ab2=ab(a+b) D.
答案:C
4. 证明:一个三位数的百位数字与个位数字交换位置,则新数与原数之差能被99整除。
证明:设原数百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z,则原数可表示为100x+10y+z,交换位置后数字为100 z +10y+ x。
则:(100 z +10y+ x)-(100x+10y+z)
=100 z-100x+x-z
=100(z-x)-(z-x)
=99(z-x)
则原结论成立。
5.(陕西省,中考题)如图3-1①所示,在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②所示),通过教育处两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )
A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b)
答案:D。
§2.2提公因式法
教学目的和要求: 经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况);进一步了解分解因式的意义,加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法.
教学重点和难点:
重点:是让学生理解提公因式的意义与原理。
难点:能确定多项式各项的公因式
关键:是让学生理解提公因式的意义与原理。
快速反应:
1. 2m2x+4mx2的公因式___________。
2. a2b+ab2+a3b3的公因式_____________。
3. 5m(a-b)+10n(b-a)的公因式____________。
4. -5xy-15xyz-20x2y=-5xy(____________).
自主学习:
1. 张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店,经过选择决定买单价16元的钢笔10支,5元一本的笔记本10本,4元一瓶的墨水10瓶,由于购买物品较多,商品售货员决定以9折出售,问共需多少钱。
关于这一问题两位同学给出了各自的做法。
方法一:16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225(元)
方法二:16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%(16+5+4)=225(元)
请问:两位同学计算的方法哪一位更好?为什么?
答案:第二位同学(第二种方法)更好,因为第二种方法将因数10×90%放在括号外,只进行过一次计算,很明显减小计算量。
2. (1)多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗?多项式3x2+x呢?多项式mb2+nb呢?
(2)将上面的多项式分别写成几个因式的乘积,说明你的理由,并与同位交流。
答案:(1)多项式ab+bc各项都含有相同的因式b,多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x,多项mb2+nb各项都含有相同的公因式b。
3. 将下列各式分解因式:
3x+6; 7x2-21x; 8a3b2-12ab3c+abc; a(x-3)+2b(x-3); 5(x-y)3+10(y-x)2。
答案:(1)3x+6=3x+3×2=3(x+2) (2)7x2-21x=7x•x-7x•3=7x(x-3)
(3)8a3b2-12ab3c+abc=ab•8a2b-ab•12b2c+ab•c=ab(8a2b-12b2c+c)
(4)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)
(5)5(x-y)3+10(y-x)2=5(x-y)3+10[-(x-y)]2=5(x-y)3+10(x-y)2=5(x-y)2(x-y+2)
4. 把下列各式分解因式:
(1)3x2-6xy+x (2)-4m3+16m2-26m
答案:(1)3x2-6xy+x=x(3x-6y+1) (2)-4m3+16m2-26m=-2m(2m2-8m+13)
5. 把 分解因式
答案: =
6. 把下列各式分解因式:
(1) 4q(1-p)3+2(p-1)2
(2) 3m(x-y)-n(y-x)
(3) m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)
答案:(1)4q(1-p)3+2(p-1)2=2(1-p)2(2q-2pq+1)
(2)3m(x-y)-n(y-x)=(x-y)(3m+n)
(3)m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)=2am(x+y)
7. 计算
(1) 已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值;
(2) 1998+19982-19992
答案:(1)a2b+ab2=ab(a+b),当a+b=13时,原式=40×13=520
(2)1998+19982-19992=-1999
8. 比较2002×20032003与2003×20022002的大小。
解答:设2002=x
∵2002×20032003-2003×20022002=x•10001(x+1)-(x+1)•10001 x=0
∴2002×20032003=2003×20022002
§2.3运用公式法
教学目的和要求: 经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程,发展学生的逆向思维和推理能力;运用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式(指数是正整数)
教学重点和难点:
重点:发展学生的逆向思维和推理能力
难点:能够理解、归纳因式分解变形的特点,同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.
快速反应:
1. 分解因式:①x2-y2= ; x2-4= ;②a2b2-2ab+1= ; = ;
2. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.16a2-25b3 B.-16a2-25b2 C.16a2+25b2 D.-(16a2-25b2)
3. 下列各式不能用完全平方公式分解的是( )
A.x2+y2+2xy B.-x2+y2+2xy C.-x2-y2-2xy D.-x2-y2+2xy
4. 把下列各式分解因式:
(1)9a2m2-16b2n2; (2) ; (3)9(a+b)2-12(a+b)+4 (4)
自主学习:
1. (1)观察多项式x2-25.9x-y2,它们有什么共同特证?
(2)将它们分别写成两个因式的乘积,说明你的理由,并与同伴交流。
答案:(1)多项式的各项都能写成平方的形式。如x2-25中:x2本身是平方的形式,25=52也是平方的形式;9x-y2也是如此。
(2)逆用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,可知x2-25= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
2. 把乘法方式
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2,反过来,就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2
上面这个变化过程是分解因式吗?说明你的理由。
答案:a2±2ab+b2=(a±b)2是分解因式。因为(a+b)2是因式的乘积的形式,(a-b)2也是因式的乘积的形式。
3. 把下列各式分解因式:
(1)25-16x2; (2) (3)9(m+n)2-(m-n)2; (4)2x3-8x;
(5)x2+14x+49; (6)(m+m)2-6(m+n)+9(7)3ax2+6axy+3ay2; (8)-x2-4y2+4xy
答案:
(1)25-16x2=(5+4x)(5-4x) (2) =
(3)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n)
(4)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-2x)=2x(x+2)(x-2)
(5)x2+14x+49= x2+2×7x+72=(x+7)2
(6)(m+m)2-6(m+n)+9=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2
(7)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2
(8)-x2-4y2+4xy=-(x-2y)2
4. 把下列各式分解因式:
(1) ; (2)(a+b)2-1; (3)-(x+2)2+16(x-1)2;
(4)
答案: (1) ; (2)(a+b)2-1=(a+b+1)(a+b-1)
(3)-(x+2)2+16(x-1)2=3(x-2)(5x-2);
(4)
5. 把下列各式分解因式:
(1)m2-12m+36; (2)8a-4a2-4;
(3) ; (4) 。
答案:(1)m2-12m+36=(m-6)2; (2)8a-4a2-4=-4(a-1)2;
(3) ;
(4)
6. 求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。
证明一:原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2 ∴原命题成立
证明二:原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令a=x2+5x+4,则x2+5x+6=a+2
原式=a(a+2)+1=(a+1)2
即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2
证明三:原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1

原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
7. 已知a,b,c是△ABC的三条边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0试判断△ABC的形状。
答案:∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0
∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0
∵(a-b) 2≥0,(b-c) 2≥0,(a-c) 2≥0
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0
∴a=b,b=c,a=c
∴这个三角形是等边三角形.
8. 设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值?
答案:当x+2z=3y时,x2-9y2+4z2+4xz的值为定值0。
6. 求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。
证明一:原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2 ∴原命题成立
证明二:原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令a=x2+5x+4,则x2+5x+6=a+2
原式=a(a+2)+1=(a+1)2
即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2
证明三:原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1

原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
1. 根据因式分解的概念,判断下列各等式哪些是因式分解,哪些不是,为什么?
(1)6abxy=2ab•3xy;
(2)
(3)(2x-1)•2=4x-2
(4)4x2-4x+1=4x(x-1)+1.
2. 填空
(1)(2m+n)(2m-n)=4m2-n2此运算属于 。
(2)x2-2x+1=(x-1)2此运算属于 。
(3)配完全平方式 49x2+y2+ =( -y)2
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式