Question

求xlnx/(1+x^2)^2从0到+∞的定积分 要具体过程

Answer 1

原式=-1/2∫lnxd[1/(1+x^2)]

=1/2[∫(1/x)*1/(1+x^2)dx-(lnx)*1/(1+x^2)|1→e]

=1/2[1/2∫(1/x^2-1/(1+x^2))dx^2-1/(1+e^2)]

=1/2{1/2ln[x^2/(1+x^2)]|1→e-1/(1+e^2)]}

=1/2{1-1/2ln[(1+e^2)/2]-1/(1+e^2)}

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

扩展资料

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

原式=-1/2∫lnxd[1/(1+x^2)]
=1/2[∫(1/x)*1/(1+x^2)dx-(lnx)*1/(1+x^2)|1→e]
=1/2[1/2∫(1/x^2-1/(1+x^2))dx^2-1/(1+e^2)]
=1/2{1/2ln[x^2/(1+x^2)]|1→e-1/(1+e^2)]}
=1/2{1-1/2ln[(1+e^2)/2]-1/(1+e^2)}
貌似不能化简,自己看看吧.|1→e表示上下限

追问

答案是0，我用分部积分做到1/2*（lnx/(1+x^2)）(+∞→0)-lnx(+∞→0)-1/2ln（1+x^2）(+∞→0)就做不下去了，怎么做都是发散。。。(+∞→0)是积分完毕

答案是0，我用分部积分做到1/2*（lnx/(1+x^2)）(+∞→0)-lnx(+∞→0)-1/2ln（1+x^2）(+∞→0)就做不下去了，怎么做都是发散。。。(+∞→0)是积分完毕