Question

高二数学抛物线 谢谢了

Answer 1

焦点（P/2,0）
设FAB是正三角形，F是交点，A、B在抛物线上。根据抛物线的性质
FA=FB=A、B到准线x=-p/2的距离，因此必然有xA=xB=|FA|-p/2
y=√（2px）=√（2p(|FA|-p/2)）=√（2p|FA|-p²）
|FA|=2y=2√（2p|FA|-p²）
平方：
|FA|²=4（2p|FA|-p²）
|FA|²-8p|FA|+4p²=0
Δ=64p²-16p²=48p²
|FA|=[8p±4p√3]/2=4p±2p√3=2p(2±√3）

另一解法：

FA倾角30°，FB倾角-30°
FA：y=（1/√3）（x-p/2）
代入抛物线方程：
（1/3）（x-p/2）²=2px
x²-px+p²/4=6px
x²-7px+p²/4=0
Δ=49p²-p²=48p²
x=[7p±4p√3]/2
=p[3.5±2√3]
y²=2p²[3.5±2√3]
y=p√(2[3.5±2√3])
=p√(7±4√3)
=p√(4±2×2√3+3)
=p√(2±√3)²
=p(2±√3)
|FA|=√[x-p/2)²+y²]=p√[(3.5±2√3-1/2)²+(2±√3)²]
=p√[(3±2√3)²+(2±√3)²]
=p√[21±12√3+7±4√3]
=p√[28±16√3]
=2p√[7±4√3]
=2p(2±√3)
=2y

有两个解。