Question

定义在R上的函数f（x）的图像关于点（_3/4，0)成中心对称，对任意的实数x都有f（x）=-f(x+3/2),f(-1)=1...

定义在R上的函数f（x）的图像关于点（_3/4，0)成中心对称，对任意的实数x都有f（x）=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2,则f（1）+f(2)+f(3)+...+f(2010)的值为祥细步骤

Answer 1

解：由于：f(x)关于(-3/4,0)成中心对称
则有：f(-3/4+x)+f(-3/4-x)=0
令x=x+3/4
则：f(x)+f(-3/2-x)=0 -----(1)
由于f(x)=-f(x+3/2)
令x=x+3/2
则：f(x+3/2)=-f[(x+3/2)+3/2]=-f(x)
即：f(x)=f(x+3)
则f(x)周期T=3
又：f(x)+f(x+3/2)=0 ----(2)
则由(1)(2)得：
f(x+3/2)=f(-3/2-x)
即：f(x+3/2)=f[-(x+3/2)]
令x+3/2=x
则：f(x)=f(-x)
则：f(1)=f(-1)=1
f(2)=f(-2)=f(-2+3)=f(1)=1
f(3)=f(0)=-2
则：f(1)+f(2)+f(3)=1+1-2=0
则：f(1)+f(2)+...+f(2010)
=670[f(1)+f(2)+f(3)]
=0