Question

z的5次方等于一的解是什么?实数复数都可以

z的5次方等于一的解是什么?实数复数都可以

Answer 1

解：z^5=1
z^5-1=0
(z-1)(z^4+z^3+z2+z+1)=0
解得z=1，或者：
z^4+z^3+z2+z+1=0
z=0时上式不成立，所以z≠0，两边都除以z²得
z²+z+1+1/z+1/z²=0
(z+1/z)²+(z+1/z)-1=0
解得z+1/z=(-1±√5)/2
也即z²-(-1±√5)/2*z+1=0
判别式为
[(-1+√5)/2]²-4=-(5+√5)/2<0
[(-1-√5)/2]²-4=-(5-√5)/2<0
根据求根公式可求得另外四个复数根：
z1,2=(-1+√5)/2±√[(5+√5)/2]i
z3.4=(-1-√5)/2±√[(5-√5)/2]i
也可以利用棣莫弗定理：
z^5=1=cos(2nπ)+isin(2nπ)，n=0,1,2,3,4
解得z=cos(2nπ/5)+isin(2nπ/5)，n=0,1,2,3,4
刚好也是五个根，一个实数根1，另外两对共轭复数根。