Question

求解一高中不等式

已知X+Y=1,X,Y属于正数
证明(X+1/X)(Y+1/Y)>=25/4
可以用三角函数做出来么？？

Answer 1

解：
(x+1/x)(y+1/y)
=[(x^2+1)/x][(y^2+1)/y]
=[(x^2+1)(y^2+1)]/xy
=(x^2+y^2+x^2*y^2+1)/xy
=[(x+y)^2-2xy+(xy)^2+1]/xy
=[1-2xy+(xy)^2+1]/xy
=[2-2xy+(xy)^2]/xy
=xy+2/xy-2.
由基本不等式：a+b>=2√ab
得：xy<=[(x+y)/2]^2=1/4.
设t=xy (t<=1/4)
则：作图可知f(t)=t+2/t
在（0，√2）单减，在（√2，+∞）单增。
故：f(t)=2/t+t在t=1/4时取得最小值。
故：xy+2/xy-2>=(1/4)+2/(1/4)-2=25/4
即 (X+1/X)(Y+1/Y)>=25/4