Question

已知函数f(x)=lnx-a/x，

(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2，求a的值
(3)若f(x)＜x^2在（1，正无穷）上恒成立，求a的取值范围

Answer 1

(1)，函数f(x)=lnx-a/x定义域为R+，
当a>0时，f'(x)=1/x+a/x^2=(x+a)/x^2，
当x>0时， x+a>0，f'(x)>0。
所以函数f(x)在定义域R+上是单调递增的。
(2)，f(x)在[1，e]上的最小值为3/2，
当a>0时，最小值为：f(1)=ln1-a=3/2，
a=-3/2，与a>0矛盾；
当a<0时，f'(x)=(x+a)/x^2，
当x>-a 时，f'(x)>0。函数f(x)在定义域R+上单调递增，
在[1，e]上的最小值为：f(1)=ln1-a=3/2，
a=-3/2；此时 1<=x<=e，1<=3/2<=e，符合题意。
而当x<-a时，f'(x)<0。函数f(x)在定义域R+上单调递减，
在[1，e]上的最小值为：f(e)=lne-a/e=1-a/e=3/2，
a=-e/2。此时 1<=x<=e，1<=e/2<=e，符合题意。
综上可知：a=-3/2，或 -e/2。
故所求a的值为：-3/2，或 -e/2。

(3)，f(x)＜x^2在(1，正无穷)上恒成立，即
lnx-a/x-x^2<0在(1，正无穷)上恒成立，
a>x*lnx-x^3 (x>1)
令 y=x*lnx-x^3，则：
y'=lnx+1-3x^2，
y''=1/x-6x=(1-6x^2)/x，
当x>1时，y''<0，
所以函数y'=lnx+1-3x^2在(1，正无穷)上单调递减，
所以y‘<ln1+1-3=-2<0，
所以函数y=x*lnx-x^3在(1，正无穷)上单调递减，
所以 a>ln1-1^3=-1。
故所求a的取值范围为：a>-1。

Answer 2

（1）f'(x)=1/x-a
当1/a>x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增
当x>1/a时 ， f'(x)<0 ，f(x)单调递减

Answer 3

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