Question

已知函数f(x)=(a^x+1)(m+1)-2/a^x+1(a>0,a≠1,m∈R)是奇函数

（1）求m的值（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并证明（3）设a=1/2，若f（k×2^t-1）+f（2^t-4^t）＞0对任意的t∈[1,＋∞）上恒成立，求k的取值范围

Answer 1

(1)，因为f(x)是奇函数，所以
f(0)=[2(m+1)-2]/2=0，
m=0。
(2)，函数f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)的定义域为：R。
任取x1，x2∈R，且 x1<x2，则：
f(x1)-f(x2)=(a^x1-1)/(a^x1+1)-(a^x2-1)/(a^x2+1)
=[2(a^x1-a^x2)]/(a^x1+1)(a^x2+1)。
当0<a<1时，函数y=a^x在R上是减函数，所以 a^x1>a^x2>0，
所以 f(x1)>f(x2)，
根据函数单调性的定义，当0<a<1时，
函数f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)在R上是减函数；
当a>1时，函数y=a^x在R上是增函数，所以 0<a^x1<a^x2，
所以 f(x1)<f(x2)，
根据函数单调性的定义，当a>1时，
函数f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)在R上是增函数。
(3)，a=1/2时，f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)在R上是减函数，且是奇函数
因为f(k×2^t-1)+f(2^t-4^t)>0对任意的t∈[1,＋∞）上恒成立，
即f(k×2^t-1)>-f(2^t-4^t)=f(4^t-2^t)，
k×2^t-1<4^t-2^t，
(2^t)^2-(k+1)*2^t+1>0，恒成立，
令x=2^t，t∈[1,＋∞），x∈[2，＋∞），
原不等式化为：x^2-(k+1)x+1>0，
所以 k<x+1/x-1，
而函数 y=x+1/x-1>=5/2-1=3/2，（ x∈[2，＋∞）），
（此处可求y‘，再判断函数在∈[2，＋∞）上是单调递增的，
故函数在x=2处取得最小值：3/2）
有最小值：3/2，
所以 k<3/2。
故所求k的取值范围为：k<3/2。

Answer 2

a^x中的^ 是什么？

Answer 3

请问楼上，第一问，f（x）的定义域一定包含0吗?