Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|

已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|（1）求不等式f（x）<4的解集M
（2）证明：若x，y∊M，则|x+y|+|xy/2+2|

Answer 1

(1)
①x＜-1时，
f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x
不等式即：-2x＜4
∴x＞-2
此时解得：-2＜x＜-1

②-1≤x≤1时，
f(x)=-(x-1)+(x+1)=2
不等式即：2＜4
恒成立，
∴-1≤x≤1都满足

③x＞1时，
f(x)=(x-1)+(x+1)=2x
不等式即：2x＜4
∴x＜2
此时解得：1＜x＜2

综上，M=(-2，2)

(2)依题意，
-2＜x＜2
-2＜y＜2
∴x²＜4，y²＜4

∴|x+y|²-|xy/2+2|²
=x²+y²-x²y²/4-4
=-1/4·(4-x²)·(4-y²)
＜0

∴|x+y|²＜|xy/2+2|²
∴|x+y|＜|xy/2+2|

Answer 2

当x＞1时f（x）=x+1+x-1=2x，2x＜4得x＜2
当-1≤x≤1时，f（x）=x+1-x+1=2,2＜4恒成立
当x＜-1时，f（x）=-x-1-x+1=-2x，-2x＜4得x＞-2
于是M={x|-2＜x＜2}
（2）|4+xy|²-4|x+y|²=16+x²y²-4x²-4y²
=（4-x²）（4-y²），因为x，y∈M，所以4-x²＞0,4-y²＞0
于是（4-x²）（4-y²）＞0，所以：2|x+y|<|4+xy|
即|x+y|<|xy/2+2|