Question

设a为实数，函数f (x)=x²+|x-a|+1，x∈R 1. 讨论此函数的奇偶性 2 f (x)的最小值

Answer 1

（1）
要判断f(x)的奇偶性，即判断f(-x)与f(x)的关系
f(-x)=(-x)^2+|-x-a|+1=x^2+|x+a|+1
若a=0，则f(-x)=x^2+|x|+1，则f(x)是偶函数
若a不=0，与f(x)=x^2+|x-a|+1没有符合奇偶函数特性
∴f(x)是非奇非偶函数
（2）
若x>=a
则f(x)=x^2+x-a+1
=(x+1/2)^2-a+3/4
若a<=-1/2,则，f(x)在x=-1的情况下取到最小值-a+3/4，
若a>-1/2,则，f(x)在x=a的情况下取到最小值a^2+1
若x<a
则f(x)=x^2-(x-a)+1
=x^2-x+a+1
=(x-1/2)^2+a+3/4
若a>=1/2,则f(x)在x=1的情况下取到最小值a+3/4，
若a<-1/2,则f(x)在x=a的情况下取到最小值a^2+1