Question

求助一道高中数学题·高手来下谢谢

若z1+z2=√2 ，z1z2=1，则zi²²-z2²²的值为

需要答案和详细过程谢谢

Answer 1

若z₁+z₂=√2 ，z₁z₂=1，则z₁²²-z₂²²的值为
解：∵z₁+z₂=√2, z₁z₂=1,
∴2=(z₁+z₂)²=z₁²+z₂²+2z₁z₂=z₁²+z₂²+2
故z₁²+z₂²=0.于是必有z₁=0, z₂=0.
这与z₁z₂=1矛盾。如果z₁,z₂都是实数，则此题无解。
事实上，z₁,z₂是方程x²-(√ 2)x+1=0的根，故
z₁=[(√2)+√(-2)]/2=(√2/2)(1+i)=cos(π/4)+isin(π/4) 或z₁= cos(π/4)-isin(π/4)
z₂=[(√2)-√(-2)]/2=(√2/2)(1-i)=cos(π/4)-isin(π/4) 或z₂=cos(π/4)+isin(π/4)
│z₁│=│z₂│=cos²(π/4)+sin²(π/4)=1
故z₁²²-z₂²²=[cos(22π/4)+isin(22π/4)]-[[cos(22π/4)-isin(22π/4)]
=2isin(11π/2)=2isin(6π-π/2)=-2isin(π/2)=-2i.或=2i

Answer 2

显然Z1、Z2是一元二次方程 x²-(√2)x+1=0 ① 的根。
解①得：x1=[√2+√(2-4)]/2=(√2)/2+i(√2)/2=cos(π/4)+isin(π/4)
x2=[√2-√(2-4)]/2=(√2)/2-i(√2)/2=cos(-π/4)+isin(-π/4)
x1^22=cos(11π/2)+isin(11π/2)=-i，x2^22=cos(-11π/2)+isin(-11π/2)=i
若Z1=x1，Z2=x2，则zi²²-z2²²=-2i
若Z1=x2，Z2=x1，则zi²²-z2²²=2i

Answer 3

设z=x+yi
|z-1|=1
(x-1)2+y2=1
设x-1=cosa ,y=sina

|z-i|
=√[x2+(y-1)2]
=√[(cosa+1)2+(sina-1)2]
=√(cos2a+2cosa+1+sin2a-2sina+1)
=√[3+2(cosa-sina)]
=√[3+2√2(cos(a+π/4)]
所以|z-i|的最小值=√(3-2√2)=√2-1
最大值=√（3+2√2)=√2+1

Answer 4

解:z1+z2=根2,故可设
z1=(根2)/2+mi
z2=(根2)/2-mi
故z1*z2=1
--->1/2+m^2=1
--->m=士(根2)/2
故:
{z1=(根2)/2*(1+i),z2=(根2)/2*(1-i)}
或{z1=(根2)/2*(1-i),z2=(根2)/2*(1+i)}

当z1=(根2)/2*(1+i),z2=(根2)/2*(1-i)时
z1^2=1/2*(1+2i-1)=i
--->z1^22=i^11=i^(4×2+3)=-i
z2^2=1/2*(1-2i-1)=-i
--->z2^22=(-i)^11=-i^(4×2+3)=i
故z1^22-z2^22=-2i

同理,z1=(根2)/2*(1-i),z2=(根2)/2*(1+i)时,有
z1^22=i
z2^22=-i
即z1^22-z2^22=2i

综上知
z1^22-z2^22=士2i。