Question

三个人互相传球 由甲开始发球 并作为第一次传球，5次传球后球仍回到甲手中概率为？

答案是3/8

Answer 1

　　看错，原来只有三个人
　　Xn＝a,b,c。 a 代表甲 b代表乙。。。
　　传给自己的机率等于零：Xn＝a ＝> Xn+1=b,c
　　假设均等分布，X0＝a
　　(解释：在第五次接手为a(甲)的机率 是 以第四次不是甲为前提，因为如果第四次是甲根据条件第五次就不可能是甲, 所以P[X5=a, X4=a] 为零。用贝叶斯定理得出一下结论)
　　P[X5=a]= P[X5=a, X4/=a]+P[X5=a, X4=a]=P[X5=a, X4/=a]=P[X5=a|X4/=a]P[X4/=a]=1/2*P[X4/=a] (/= 不等于)
　　已知第四次不是甲第五次是甲的机率是1/2, 所以只需求P[X4/=a]， 求P[X4/=a]只需重复上面的步骤：
　　P[X4/=a] =P[X4/=a|X3=a]P[X3=a]+P[X4/=a|X3/=a]P[X3/=a]=P[X3=a]+1/2*P[X3/=a]=1/2*P[X3=A]+1/2
　　P[X3=a] = P[X3=a, X2/=a]+P[X3=a, X2=a]= P[X3=a, X2/=a]=P[X3=a|X2/=a]P[X2/=a]=P[X2/=a]
　　P[X2/=a]=P[X1=a]+1/2*P[X1/=a]=1/2*P[X1/=a]=1/2
　　因为P[X1/=a]=1

　　总结： P[X5=a]=1/2*(P[X4/=a])=1/2*(1/2*P[X3=A]+1/2)=1/2*(1/2*1/2+1/2)=3/8
　　做了一个多小时，可以加加分，给点好评吧，不懂得地方可以短信问。

　　更简单的方法是，如果你知道马可夫链，P(i,j)=P[Xn=i|Xn-1=j]
　　P的四次方 的(1,1)=3/8

　　P =
　　0 0.5000 0.5000
　　0.5000 0 0.5000
　　0.5000 0.5000 0

　　>> 3/8
　　ans = 0.3750

　　>> P*P*P*P
　　ans =
　　0.3750 0.3125 0.3125
　　0.3125 0.3750 0.3125
　　0.3125 0.3125 0.3750

　　同样适用于 更多人，更多次传球，和非均等分布