Question

已知α,β均为锐角,且sinα=3/5,tan(α-β)=-1/3. 求（1)sin(α-β).（2)cosβ

Answer 1

(1)0＜α＜π/2
0＜β＜π/2
∴-π/2＜α-β＜π/2
∵tan(α-β)＜0
∴-π/2＜α-β＜0
∴sin(α-β)＜0，cos(α-β)＞0
cos(α-β)=-3sin(α-β)
∴cos²(α-β)=9sin²(α-β)
∵cos²(α-β)+sin²(α-β)=1
∴10sin²(α-β)=1
∴sin²(α-β)=1/10
∴sin(α-β)=-√10/10

(2)cosα=4/5
cos(α-β)=-3sin(α-β)=3√10/10
∴cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosα·cos(α-β)+sinα·sin(α-β)
=4/5·3√10/10+3/5·(-√10/10)
=9√10/50