Question

高数问题：第二型曲线积分的对称性是怎么样的？

高数问题：第二型曲线积分的对称性是怎么样的？我们知道第二型曲面积分的对称性和第一型是反的（奇倍偶零），那么第二型曲线积分是否也是反的？

Answer 1

1、第二类曲线积分中有关于对称性的结论（积分曲线关于y轴对称的情形）。

2、第二类曲线积分中关于对称性的结论（积分曲线关于x轴对称的情形）。

3、然后利用对坐标的曲线积分的物理意义（变力沿曲线作功）给出上述部分结论的解释。

4、在利用对称性结论计算第二类曲线积分的典型例题（本题为考研试题）。

Answer 2

不能一概而论说“第二型曲面积分的对称性和第一型是反的”，总之结论要谨慎下，还要看积分变量和曲面的“侧”。
例如对于∫∫<Σ>Rdxdy曲面Σ关于xOy坐标面对称，侧刚好相反，那么就有R关于z的奇倍偶零。
而曲面Σ关于xOy坐标面对称，侧刚好相反，对于∫∫<Σ>Pdzdy，那么对于P根本没有必要讨论其奇偶性。
第二型曲线积分有类似性质∫<L>Pdx+Qdy+Rdz，若L关于xOy坐标面对称，那么只有对第三项∫<L>Rdz才能有R关于z的奇倍偶零。