Question

高数第一型曲线积分对称性问题

图被我画烂了不好意思 请问 此题后面根据弧段关于x轴对称与被积函数是偶函数讲曲线积分化为2倍的一个定积分 但是我怎么有种感觉没有前面的2倍 也就是单独的那个定积分也表示这个曲线积分的值呢 是哪里想错了呢 根据直角坐标系的正常做法不利用对称性不就是那个结果吗 就是前面没有2倍那种 到底哪里想错了 请大家指点

Answer 1

不对因为x^2+y^2=4x不是函数
你要解y=f(x)的话你发现开根是有正负根的
所以你直接算的话默认是正根，然后少算了负根的部分。
然后两部分相等，所以你少算了一半

主要区别在于在直角坐标系内，积分x的范围是[0,4]，只能表示半个圆，要么上半圆，要么下半圆。
所以你必须乘2表示整个圆

解答太过偷懒了，建议分成上下半圆分开做比较保险，乱跳步容易错的。

追问

哦，谢谢你了!

Answer 2

必须是2倍的定积分，你的想法错在没注意到一个x对应两个y，即曲线实际上是包含两段y=±√(4x-x²)的

追问

但是这题一路下来都没有忽略正负号啊，它用的是y方啊

我想明白了，谢谢你了啊