Question

线性代数问题，求解答

线性代数问题，求解答3.13

Answer 1

系数矩阵行列式 |A| =
|1+λ 1 1|
|1 1+λ 1|
|1 1 1+λ|
后两列加到第1列， 然后后两行减去第1行，得 |A| = (λ+3)λ^2,
当 λ≠-3 且 λ≠0 时， |A|≠0， 方程组有唯一解。
当 λ=-3 时， (A, b) =
[-2 1 1 0]
[ 1 -2 1 -3]
[ 1 1 -2 -9]
初等行变换为
[ 1 -2 1 -3]
[ 0 3 -3 -6]
[ 0 -3 3 -6]
初等行变换为
[ 1 0 -1 -7]
[ 0 1 -1 -2]
[ 0 0 0 1]
r(A) = 2, r(A, b) = 3, 方程组无解。
当 λ=0 时， (A, b) =
[ 1 1 1 0]
[ 1 1 1 0]
[ 1 1 1 0]
初等行变换为
[ 1 1 1 0]
[ 0 0 0 0]
[ 0 0 0 0]
r(A) = r(A,b) = 1 < 3, 方程组有无穷多解。
x1 = -x2-x3

基础解系 (1 -1 0)^T， (1 0 -1)^T，
通解 x = k(1 -1 0)^T + c(1 0 -1)^T