Question

已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响，（1）推到第一宇宙速度v1的表达式

（2）若卫星围绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T

Answer 1

物体在半径为r的圆轨道上绕着地球运转时：GMm/r^2 =mv^2/r <1>

第一宇宙速度v1对应于r=R <2> (R和r分别为卫星轨道半径和地球半径）

当卫星绕着半径为R的轨道运动时，忽略地球自转：g=GM/R62 <3>

联立上述方程得到v[1]=sqrt(gR)

(2) r=R+h <4>

GMm/r^2=mr*(2π/T)^2 <5> ==>T=2π*sqrt(gr^3/R^2)

sqrt（x）是x的算数根

Answer 2

v²/R=g
v²=√Rg=7.9km/s
4π²(R+h)/T²=GM/(R+h)²
T²=4π²(R+h)³/GM
T=2π√[(R+h)³/GM]

Answer 3

第一问 GMm/R^2=mg=mV1^2/R 所以V1=√Rg
第二问 GM=V1^2R（由第一问可知） GMm/（R+h)^2=mω^2(R+h) ω=2π/T 带入
可以得到T=2π/√GM/(R+h)^3

Answer 4

V^2/R=g 算出第一宇宙速度v=根号下gR
v^2/(R+h)=(R+h)4π^2/T^2 算出T