Question

高等数学，计算题：3．设曲面S:x^2+y^2+z^2=1,z≥0的上侧，求∬_S▒〖xdydz+ydzdx+zdxdy〗

3．设曲面S:x^2+y^2+z^2=1,z≥0的上侧，求∬_S▒〖xdydz+ydzdx+zdxdy〗

Answer 1

令R=1即可，答案是2π，详情如图所示

Answer 2

高等数学，计算题：3．设曲面S:x^2+y^2+z^2=1,z≥0的上侧，求∬_S▒〖xdydz+ydzdx+zdxdy〗
∑不为封闭曲面
所以补充平面∑1：z=0 (x^2+y^2<=1)(取下侧）
I总=（∑+∑1）∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy
高斯公式：
=∫∫∫[1+1+1]dxdydz
=∫∫∫3dxdydz
∑+∑1:封闭曲面,取外侧
使用柱坐标:
则z的积分限（0，(1-r^2)^0.5）
r的积分限（0，1）
θ的积分限（0，2π）
=∫(0，2π）dθ∫(0,1)rdr∫（0，(1-r^2)^0.5）3dz
=2π∫(0,1)[3(1-r^2)^0.5]rdr
=-3π∫(0,1)[(1-r^2)^0.5]d[(1-r^2)]
=-3π*(2/3)*[(1-r^2)^1.5]|(0,1)
=-2π*(0-1)
=2π
因为：I1=（∑1）∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy
=-∫∫（Dxy）0dxdy
=0
所以：I=I总-I1=2π-0=2π