Question

下列二元函数在(0，0)处可微的是( )

Answer 1

（1）选项A.
lim
(x，y)→(0，0)
[f(x，y)−f(0，0)]＝0是指函数f（x，y）在点（0，0）连续．二元函数可微分⇒连续，但反之不成立．故选项A错误；
（2）选项B.
lim
x→0
f(x，0)−f(0，0)
x
＝fx′(0，0)＝0，且
lim
y→0
f(0，y)−f(0，0)
y
＝fy′(0，0)＝0，二元函数可微分⇒偏导数存在，但反之不成立．故选项B错误；
（3）选项D.
lim
x→0
[
f
′
x

(x，0)−
f
′
x

(0，0)]=0，且
lim
y→0
[
f
′
y

(0，y)−
f
′
y

(0，0)]=0说明一阶偏导数fx′（0，0）和fy'（0，0）存在，但不能推导出两个一阶偏导函数fx′（0，0）和fy'（0，0）在点（0，0）处连续．故选项D错误．
所以（A）（B）（D）均不能保证f（x，y）在点（0，0）处可微；
（4）选项C．由
lim
(x，y)→(0，0)
f(x，y)−f(0，0)

x2+y2

＝0，可知fx′（0，0）=0和fy'（0，0）=0
∴
[f(△x，△y)−f(0，0)]−[fx′(0，0)△x+fy′(0，0)△y]

(△x)2+(△y)2

＝0
∴由可微的定义，知f（x，y）在点（0，0）可微．
故应选：C．