Question

线性代数证明:若向量v1,v2,……,vn线性无关,那v1+v2,v2+v3,……,vn+v1是线性相关还是无关

Answer 1

n为偶数或者奇数时都线性无关
n为偶数时，
可以得到：a(2k-1）=a(2k+1);a(2k)=a(2k+2),k=1,2,3……n/2,(即奇数项系数与奇数项系数相等，偶数项系数和偶数项系数相等),
但是，此时a1(v1+v2)+a2(v2+v3)+…+an(vn+v1)=0可以转化为：a1(v1+v2)=-a2(v2+v3)-…-an(vn+v1);
即a1v1=-a2(v2+v3)-…-an(vn+v1)-a1v2=-(a1+a2)v2-(a2+a3)v3-...-(an-1+an)vn
此时，若a1=0，则所有系数a1，a2,...,an均为0
若a1不等于0，则方程左右各除以a1得：v1=-(a1+a2)/a1v2-(a2+a3)/a1v3-...-(an-1+an)/a1vn,此时将-(a1+a2)/a1视为b2，-(a2+a3)/a1视为b3，...,-(an-1+an)/a1视为bn,则原式变为：v1=b2v2-b3v3-...-bnvn,即v1可以用（v2,v3,...,vn)来表示，即向量v1,v2,……,vn线性相关，与原题所述向量v1,v2,……,vn线性无关不符，故不成立，所以a1必然等于零，所以所有系数a1，a2,...,an均为0，即只有唯一0解，故v1+v2,v2+v3,……,vn+v1线性无关

n为奇数时线性无关。
否则若线性相关，则存在不全为零的常数 a1,a2,…,an,使 a1(v1+v2)+a2(v2+v3)+…+an(vn+v1)=0,
即 (a1+an)v1+(a1+a2)v2+…+(an-1+an)vn=0，
因为 v1,v2,…,vn 线性无关，故 a1+an,a1+a2,…,an-1+an 全为0，
又由n为奇数，即 a1=-a2=a3=…=an=-a1=a2=-a3=…=-an，于是 a1=a2=…an=0，与 a1,a2,…,an 不全为零矛盾。故其线性无关。
（本回答采用了另一在本问题下回答的关于n为奇数部分的证明回答，同时对于其在n为偶数部分时的考虑不周进行了补充）

Answer 2

n为偶数时线性相关，n为奇数时线性无关。
n为偶数时，取ak=(-1)^k,k=1,2,…,n,则有a1(v1+v2)+a2(v2+v3)+…+an(vn+v1)=0，故线性相关。
n为奇数时线性无关。
否则若线性相关，则存在不全为零的常数 a1,a2,…,an,使 a1(v1+v2)+a2(v2+v3)+…+an(vn+v1)=0,
即 (a1+an)v1+(a1+a2)v2+…+(an-1+an)vn=0，
因为 v1,v2,…,vn 线性无关，故 a1+an,a1+a2,…,an-1+an 全为0，
又由n为奇数，即 a1=-a2=a3=…=an=-a1=a2=-a3=…=-an，于是 a1=a2=…an=0，与 a1,a2,…,an 不全为零矛盾。故其线性无关。

追问

请问如果是向量v1,v2,……,vn线性相关呢？

追答

那v1+v2,v2+v3,…,vn-1+vn肯定线性相关。使得a1v1+a2v2+…anvn=0的那组常数a1,a2,…,an当然也能使 a1(v1+v2)+a2(v2+v3)+…+an(vn+v1)=0,因为直接就是两倍呀